Question

已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别是a，b，c，则下列结论中正确的是

 

．（写出所有正确结论的序号）
①B=

π

3

；
②若a，b，c成等差数列，则△ABC为等边三角形；
③若a=2c，则△ABC为锐角三角形；
④若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，则3A=C；
⑤若tanA+tanC+

3

＞0，则△ABC为钝角三角形．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形

分析：①利用等差数列的定义和三角形内角和定理即可判断出；
②利用等差数列和余弦定理即可得出；
③利用余弦定理和勾股定理的逆定理即可得出；
④利用余弦定理、数量积运算、类比③即可得出；
⑤利用两角和的正切公式及其三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：①∵△ABC的内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，解得B=

π

3

，因此正确；
②若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，∴4b²=（a+c）²=a²+c²+2ac，
又b2=a2+c2-2accos

π

3

=a²+c²-ac，代入上式可得（a-c）²=0，解得a=c．
∴△ABC为等边三角形；因此正确．
③∵b2=a2+c2-2accos

π

3

，a=2c，∴b²=3c²，
∴c²+b²=4c²=a²，∴A=

π

2

．
∴△ABC为直角三角形，因此③不正确．
④∵

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，
∴c2=bccosA+

1

2

ac+abcosC，
由余弦定理可得：c2=

1

2

(b2+c2-a2)+

1

2

ac+

1

2

(a2+b2-c2)，
化为c=2a，类比③可得C=

π

2

，A=

π

6

，∴C=3A．因此正确．
⑤若tanA+tanC+

3

＞0，则tan（A+C）（1-tanAtanC）+

3

＞0，
∵tan（A+C）=tan（π-B）=-tan

π

3

=-

3

，
∴-

3

+

3

tanAtanC+

3

＞0，化为tanAtanC＞0，可得A，C都为锐角，
因此△ABC为锐角三角形，故⑤不正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了余弦定理、勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理、三角函数的单调性、等差数列等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．