Question

已知{a_n}为公差不为零的等差数列，首项a₁=a，{a_n}的部分项ak1、ak2、…、akn恰为等比数列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a表示）；
（2）设数列{k_n}的前n项和为S_n，求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3 2

（n是正整数）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数学归纳法

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=a，a₅=a+4d，a₁₇=a+16d成等比数列，可得d，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）确定akn=

kn+1

2

a=a•3^n-1，可得kn=2×3n-1-1，从而可得数列{k_n}的前n项和为S_n，利用二项式定理，可得

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

（n≥2），利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答： （1）解：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由已知得a₁=a，a₅=a+4d，a₁₇=a+16d成等比数列，
∴（a+4d）²=a（a+16d），且a≠0…（2分）
得d=0或d=

a

2

∵已知{a_n}为公差不为零
∴d=

a

2

，…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=a+(n-1)

a

2

=

n+1

2

a．…（4分）
（2）证明：由（1）知an=

n+1

2

a，∴akn=

kn+1

2

a…（5分）
而等比数列{akn}的公比q=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=3．
∴akn=a1•3n-1=a•3n-1…（6分）
因此akn=

kn+1

2

a=a•3^n-1，
∵a≠0
∴kn=2×3n-1-1…（7分）
∴Sn=(2×30+2×31+…+2×3n-1)-n=

2(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1…（9分）
∵当n＞1时，3n=(1+2)n=

C

0 n

+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n-1 n

×2n-1+

C

n n

×2n≥

C

0 n

+

C

1 n

×2+

C

n n

×2n
=2ⁿ+2n+1＞2ⁿ+n+1
∴3ⁿ-n-1＞2ⁿ，
∴

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

（n≥2）…（11分）
∴当n=1时，

1

S1

=1＜

3

2

，不等式成立；
当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n＜

3

2

综上得不等式

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

成立．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项，考查等比数列的求和，考查小时分析解决问题的能力，综合性强．