Question

以下四个命题：
①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=

π

4

；
②设

a

，

b

是两个非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

；
③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
④函数f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

的最大值为M，最小值为m，则M+m=4；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①在△ABC中，由bsinA=acosB，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB，进而得到tanB=1，即可得出．
②设

a

，

b

是两个非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，利用数量积可得cos＜

a

，

b

＞=±1，再利用向量共线定理可得存在实数λ，使得

b

=λ

a

；
③令f（x）=x-sinx，利用导数可得f′（x）=1-cosx≥0，得到函数f（x）在R上单调递增，再利用函数零点的意义即可得出；
④变形成如下：f（x）=1-

sinx

|x|+1

，令g（x）=

sinx

|x|+1

，可知g（x）为奇函数，利用奇函数的性质即可得出．

解答： 解：①在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∴tanB=1．
∴B=

π

4

，正确；
②设

a

，

b

是两个非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，∴cos＜

a

，

b

＞=±1，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

，正确；
③令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，而sin0-0=0，即f（0）=0．
∴方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个0，正确；
④函数f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

=1-

sinx

|x|+1

．
令g（x）=

sinx

|x|+1

，可知g（x）为奇函数，
因此g（x）最大最小值互为相反数，
故M+m=1+g（x）_max+1+g（x）_min=2．
因此④不正确．
综上可知：正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题综合考查了正弦定理、数量积的意义、向量共线定理、函数零点定理、奇函数的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决实际问题的能力，属于难题．