Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别把f（x）和g（x）的解析式代入到f（x）-g（x）中，根据负数和0没有对数得到x+1和4-2x都大于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）f（x）-g（x）的值正数即为f（x）-g（x）大于0，即f（x）大于g（x），将f（x）和g（x）的解析式代入后，分a大于0小于1和a大于1两种情况由对数函数的单调性即可列出x的不等式，分别求出不等式的解集，即可得到相应满足题意的x的取值范围．

解答：解：（1）由题意可知，f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（4-2x），
由

x+1＞0 4-2x＞0

，
解得

x＞-1 x＜2

，
∴-1＜x＜2，
∴函数f（x）-g（x）的定义域是（-1，2）．
（2）由f（x）-g（x）＞0，得f（x）＞g（x），即log_a（x+1）＞log_a（4-2x），①
当a＞1时，由①可得x+1＞4-2x，解得x＞1，又-1＜x＜2，
∴1＜x＜2；
当0＜a＜1时，由①可得x+1＜4-2x，解得x＜1，又-1＜x＜2，
∴-1＜x＜1．
综上所述：当a＞1时，x的取值范围是（1，2）；
当0＜a＜1时，x的取值范围是（-1，1）．

点评：此题考查学生会求对数函数的定义域，掌握对数函数的单调性，是一道综合题．