Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+2，x∈[-3，3]
（1）a=-1，求f（x）的最大与最小值；
（2）a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，f（x）=x²-x+2的图象的是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，利用二次函数的性质求得函数的最值；
（2）函数f（x）=x²+ax+2的图象的是开口朝上，且以直线x=$-\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，分①当$-\frac{a}{2}$＜-3、②当-3≤$-\frac{a}{2}$＜0、③当0≤$-\frac{a}{2}$≤3、④当$-\frac{a}{2}$＞3四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-x+2的图象的是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
若x∈[-3，3]，则当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{7}{4}$，当x=-3时，函数取最大值14；
（2）函数f（x）=x²+ax+2的图象的是开口朝上，且以直线x=$-\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
①当$-\frac{a}{2}$＜-3，即a＞6时，函数在[-3，3]上是增函数，
故当x=-3时，函数y取得最小值为11-3a；当x=3时，函数y取得最大值为11+3a．
②当-3≤$-\frac{a}{2}$＜0，即0＜a≤6时，x=$-\frac{a}{2}$时，函数y取得最小值为2-$\frac{1}{4}$a²；
当x=3时，函数y取得最大值为11+3a．
③当0≤$-\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a≤0时，x=$-\frac{a}{2}$时，函数y取得最小值为2-$\frac{1}{4}$a²；
当x=-3时，函数y取得最大值为11-3a．
④当$-\frac{a}{2}$＞3，即a＜-6时，函数y在[-3，3]上是减函数，
故当x=-3时，函数y取得最大值为11-3a；
当x=3时，函数y取得最小值为11+3a

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题