Question

11．已知椭圆C：4x²+y²=1，直线1：x-y-b=0．
（1）判断直线1与椭圆C的位置关系；
（2）求1被C截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线方程与椭圆方程联立，消掉y后得到x的二次方程，利用△，即可判断直线1与椭圆C的位置关系；
（2）利用弦长公式，结合配方法，即可得出结论．

解答 解：（1）由椭圆C：4x²+y²=1，直线1：x-y-b=0，得5x²-2bx+b²-1=0，
△=4b²-4×5（b²-1）=-4b²+5=0，∴b=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$时直线与椭圆相切．
-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜b＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$时直线与椭圆相交；
b＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或b＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$时直线与椭圆没有交点；
（2）弦长=$\sqrt{2}$$•\sqrt{（\frac{2b}{5}）^{2}-4•\frac{{b}^{2}-1}{5}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{4\sqrt{5-4{b}^{2}}}{5}$，
∴b=0，弦长最大，最大值为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，直线方程为x-y=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，属于基础题．