Question

3．已知直线y=kx+b与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）
（1）求椭圆的离心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由椭圆方程求得a，b的值，进一步得到c，则椭圆离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标，利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，再利用弦长公式及点到直线的距离公式，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值；
（3）把直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k，则直线的方程可求．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴此椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b）（x₁＜x₂），
由$\frac{{x}^{2}}{4}+{b}^{2}=1$，解得${x}_{1}=-2\sqrt{1-{b}^{2}}$，${x}_{2}=2\sqrt{1-{b}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$b•|x₁-x₂|=2b•$\sqrt{1-{b}^{2}}$≤b²+1-b²=1．
当且仅当$b=\sqrt{1-{b}^{2}}$，即$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S取到最大值1；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，①
△=64k²b²-（16k²+4）（4b²-4）=16（4k²-b²+1），
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8kb}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{b}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-8kb}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{4{b}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-{b}^{2}+1}}{4{k}^{2}+1}$．②
设O到AB的距离为d，则d=$\frac{2S}{|AB|}=1$，
又∵d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴b²=k²+1，代入②式并整理，得4k⁴-4k²+1=0，
解得：${k}^{2}=\frac{1}{2}$，${b}^{2}=\frac{3}{2}$，代入①式检验，△＞0，
故直线AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{2}$，或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质、考查椭圆与直线的位置关系的应用，考查运算能力，是中档题．