Question

13．在椭圆x²+8y²=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小，则P的坐标为（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 设直线x-y+m=0与椭圆相切于点P（x₀，y₀），与椭圆方程联立9x²+16mx+8m²-8=0，令△=0，解得m，再利用点到直线的距离公式即可．

解答 解：设直线x-y+m=0与椭圆相切于点P（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8{y}^{2}=8}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，化为9x²+16mx+8m²-8=0，
令△=（16m）²-36（8m²-8）=0，解得m=±3，
由图可知，m=3时直线l：x-y+4=0与直线x-y+m=0的距离最小．
解得x=-$\frac{8}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
点P到直线l：x-y+4=0的距离d=$\frac{|-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴要求的P到直线l：x-y+4=0的距离最小，其最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：（-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了直线与椭圆相切问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．