Question

8．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=f（x）-x，求函数g（x）在区间[-2，1]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义求出k的值即可；
（2）由（1）可得g（x）=log₂（4^x+1）-2x=log₂（1+$\frac{1}{{4}^{x}}$），分析函数的单调性，可得函数g（x）在区间[-2，1]上的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
∴log2（4-x+1）-kx=log2（4x+1）+kx，
∴2x+2kx=0．
由于此式对于一切x∈R恒成立，
∴k=-1
（2）由（1）得：f（x）=log₂（4^x+1）-x，
∴g（x）=f（x）-x=log₂（4^x+1）-2x=log₂（$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{x}}$）=log₂（1+$\frac{1}{{4}^{x}}$），
故函数g（x）在区间[-2，1]上为减函数，
当x=-2时，函数取最大值log₂17，
当x=1时，函数取最小值log₂$\frac{5}{4}$，
故函数g（x）在区间[-2，1]上的取值范围为[log₂$\frac{5}{4}$，log₂17]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．