Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R．求xy的最大值．

Answer 1

分析 （I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算．
（II）根据模长列出方程，利用基本不等式解出最大值．

解答 解：（1）以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：
则A（0，0），B（1，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）.$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$．
（2）$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$=（x-$\frac{y}{2}$，$\frac{\sqrt{3}y}{2}$）．
∵|$\overrightarrow{AP}$|=1．∴（x-$\frac{y}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}y}{2}$）²=1．
∴x²+y²=1+xy≥2xy．∴xy≤1．
∴xy的最大值是1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式，属于基础题．