Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂为左、右焦点，M为椭圆上一点且MF₂⊥x轴，设P是椭圆上任意一点，若△PF₁F₂面积的最大值是△OMF₂面积的3倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，可得M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），利用△PF₁F₂面积的最大值是△OMF₂面积的3倍，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=3×$\frac{1}{2}×c×\frac{{b}^{2}}{a}$，b=$\frac{2}{3}$a，求出a，c的关系，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：由题意，可得M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵△PF₁F₂面积的最大值是△OMF₂面积的3倍，
∴$\frac{1}{2}×2c×b$=3×$\frac{1}{2}×c×\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴b=$\frac{2}{3}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．