Question

6．已知函数f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（　　）

• A． [1，$\sqrt{2}$）
• B． [0，$\sqrt{2}$-1]
• C． [$\sqrt{2}$-1，1）
• D． [$\sqrt{2}$-1，1]

Answer 1

分析 若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b-3，y=x+b-1，与y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的图象共有3个交点，画出y=x+b-3，y=x+b-1，与y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的图象，数形结合可得答案．

解答 解：若|f（x）|=1，则f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=1，或f（x）=x+b-2-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=-1，
即x+b-3=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，或x+b-1=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，
画出y=x+b-3，y=x+b-1，与y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的图象如下图所示：

若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，
则y=x+b-3，y=x+b-1，与y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的图象共有3个交点，
则b-1∈[0，$\sqrt{2}-1$），
即b∈[1，$\sqrt{2}$），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性与根的个数判断，数形结合思想，直线与圆的位置关系，难度中档．