Question

1．正四面体的四个顶点都在以原点O（0，0，0）为球心，半径为1的球面上，已知该正四面体的一个顶点P的坐标为（0，0，1），另一个顶点Q的坐标为（m，n，p），则下列选项正确的是（　　）

• A． $\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角为120°
• B． m²+n²=p²
• C． mn＜0
• D． p＜0

Answer 1

分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：设正四面体的棱长为2a，则底面三角形的高为$\sqrt{3}$a，正四面体的高为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，
∵正四面体的外接球的半径为1，
∴$\frac{3}{4}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a=1，∴a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos∠POQ=$\frac{1+1-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{2×1×1}$=-$\frac{1}{3}$，∴A不正确；
m²+n²+p²=1，B不正确，
Q在xOy平面下方，故C不正确，D正确．
故选：D．

点评 本题考查球的内接四面体，考查学生的计算能力，属于中档题．