Question

已知cosα=

3

5

，cosβ=

2 5

5

，α，β为锐角，求sin（α-β），tan（α+2β）．

Answer 1

分析：由cosα，cosβ的值，根据α，β为锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα，sinβ的值，从而求出tanα，tanβ的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（α-β），把各种的值代入即可求出值；由二倍角的正切函数公式化简tan2β，把tanβ的值代入求出值，最后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+2β），把各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵cosα=

3

5

，且α为锐角，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，故tanα=

4

3

，
又cosβ=

2 5

5

，且β为锐角，
∴sinβ=

1-cos2β

=

5

5

，故tanβ=

1

2

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

4

5

×

2 5

5

-

3

5

×

5

5

=

5

5

，
∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

4

3

，
则tan(α+2β)=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

4 3 + 4 3

1-( 4 3 )2

=-

24

7

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．