Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），函数g（x）=-

a

x

，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x_o）＞g（x_o）成立，a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：

分析：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，令h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，
令h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴

a

2

＞h(1)=0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．