Question

已知函数f（x）=x-lnx，若?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由已知得x＞0，且f′(x)=1-

1

x

，．?x₁∈[

1

2

，2]，x₂∈[

1

2

，2]，f（x₁）_min=1，(x22)min=（

1

2

）²=

1

4

，由此能求出实数b的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x-lnx，
∴x＞0，且f′(x)=1-

1

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）的增区间为（1，+∞），f（x）的减区间为（0，1），
∴x=1时，f（x）取极小值f（1）=1，此极小值也是最小值，
即f（x）_min=f（1）=1．
∵?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，
又?x₁∈[

1

2

，2]，x₂∈[

1

2

，2]，f（x₁）_min=1，(x22)min=（

1

2

）²=

1

4

，
∴x22+b≤1，∴b≤1-x22≤1-

1

4

=

3

4

．
∴实数b的取值范围是（-∞，

3

4

]．
故答案为：（-∞，

3

4

]．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．