Question

已知函数f（x）=2x³-6x²+3与直线y=a有三个交点，则a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得f′（x）=6x²-12x，令f′（x）=0，得x=0或x=2，由此利用导数性质求出f（x）_极小值=f（2）=-5，f（x）_极大值=f（0）=3，由函数f（x）=2x³-6x²+3与直线y=a有三个交点，能求出a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=2x³-6x²+3，
∴f′（x）=6x²-12x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2），
∴f（x）_极小值=f（2）=-5，f（x）_极大值=f（0）=3，
∵函数f（x）=2x³-6x²+3与直线y=a有三个交点，
∴-5＜a＜3．
∴a的取值范围是（-5，3）．
故答案为：（-5，3）．

点评：本题主要考查了函数零点与图象交点间的关系和相互转化，三次函数零点个数问题，导数在函数单调性和极值中的应用