Question

20．已知直线l的参数方程是，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，
（1）求曲线C和直线l的普通方程；
（2）直线l与曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，进而可得曲线C普通方程；根据直线l的参数方程，利用代入消元法，可得直线l的普通方程；
（2）直线l与曲线C分别交于A，B两点，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理和弦长公式，可得|AB|的长．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，
即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
故曲线C的普通方程为x²=2y，…（3分）
∵直线l的参数方程是，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t是参数），
消参得：直线l的普通方程为y=x+1．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=2y\\ y=x+1\end{array}\right.$，得x²-2x-2=0，…（6分）
由韦达定理得x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，…（8分）
由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1+k2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{6}$． …（10分）

点评 本题考查的知识点是直线与抛物线的位置关系，极坐标，参数方程与普通方程的互化，难度中档．