Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{1}{2}$，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点M（-4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：当且仅当AB过右焦点F₂，等号成立，即△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨=4a时，取最大值，故a=2，由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线AB的方程为：x=my-4，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，根据三角形的面积公式可知：S_△ABF=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}-4}}{3{m}^{2}+4}$，令t=$\sqrt{{m}^{2}-4}$（t＞0），根据基本不等式的性质即可求得m的值，求得直线AB的方程．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆的右焦点F₂，由椭圆的定义可知：丨AF丨+丨AF₂丨=2a，丨BF丨+丨BF₂丨=2a，
△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨≤丨AF丨+丨AF₂丨+丨BF丨+丨BF₂丨=4a，
当且仅当AB过F₂，等号成立，
∴4a=8，a=2，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线AB的方程为：x=my-4，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my-4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+3m²）y²-24my+36=0，
则△=576m2-4×36×（4+3m²）=144（m²-4）＞0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
F到AB的距离d=$\frac{丨1-0+4丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}-4}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}-4}$（t＞0），
S_△ABF=$\frac{18t}{2{t}^{2}+\frac{16}{t}}$=$\frac{18}{3t+\frac{16}{t}}$≤$\frac{18}{2\sqrt{3t•\frac{16}{t}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当且仅当3t=$\frac{16}{t}$，即m=±$\frac{2\sqrt{21}}{3}$时，等号成立，
∴直线AB的方程为：3x-2$\sqrt{21}$y+12=0或3x+2$\sqrt{21}$y+12=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．