Question

6．设f（x）＜0是定义在R上的奇函数，且f（2）＜0，当x＞0时，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 构造函数，通过$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0化为[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：因为当x＞0时，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，即[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0恒成立，
所以$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集：（-∞，-2）∪（0，2）．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．属于中档题．