Question

6．已知AB、DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：EF=FM；
（2）若圆O的半径为1，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，证明A，E，M，N四点共圆，可得∠FME=∠EAB，EF是圆O的切线，可得∠FEB=∠EAB，∠EMF=∠FEB，即可证明EF=FM；
（2）若圆O的半径为1，利用射影定理求EF的长．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴A，E，M，N四点共圆，
∴∠FME=∠EAB，
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEB=∠EAB，
∴∠EMF=∠FEB，
∴EF=FM；
（2）解：连接EC，
∵DE为圆O的直径，
∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=$\frac{1}{2}$EC，
∵圆O的半径为1，N为OB的中点，
∴EC=1，CD=$\sqrt{3}$，
Rt△DEF中，EC²=FC•CD，∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴EF²=FC•FD=$\frac{4}{3}$，∴EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．