Question

【题目】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.

（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；

（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望.

Answer 1

【答案】（1）， ， ；（2）详见解析；

【解析】试题分析：（1）甲队获胜有三种情形： ， ， ，其每种情形的最后一局肯定是甲队获胜，粉笔求出相应的概率，即可得到结果；（2）的取值可能为，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，列出分布列，最后根据期望的公式即可求解数学期望．

试题解析：（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，

“甲队以3∶2胜利”为事件A3，

由题意知，各局比赛结果相互独立，

故P(A1)＝，

P(A2)＝，

P(A3)＝.

所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.

（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，

由题意知，各局比赛结果相互独立，

所以P(A4)＝.

由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，

根据事件的互斥性得

P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.

又P(X＝1)＝P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(A4)＝，

P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，

故X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.