Question

【题目】四边形中，，且，为中点，连接，如图（1），将其沿折起使得平面平面，平面平面，连接，如图（2）.

（1）证明：图（2）中的四点共面；

（2）求图（2）中平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)分析翻折后,取DE,CE中点M,N,连接MN,AM,BN利用平面几何知识证明,,进而得到，则A,B,C,D四点共面;

(2)以N为原点建立如图所示空间直角坐标系,根据等量关系写出A,C,D,E,N五点坐标,求出平面BCE和平面ACE的法向量,将两个平面所成的锐二面角转化为法向量所成角的余弦值来求解.

(1)翻折前,由题意AB=2CD=2AD=2BC=2,E为AB的中点,可得AE=EB=BC=CD=DA=1,又ABCD,,,则可得AD=CE=1,同理DE=BC=1,

翻折后,取DE,CE中点M,N,连接MN,AM,BN,如图所示:

则MNCD,在△ADE和△BCE内:AMDE,BNCE,

由平面平面, 平面平面=DE,

AM平面,同理BN平面,AMBN,由题意等量关系易得AMBN,可得四边形ABNM为平行四边形,所以ABNM,由MNCD得ABCD,所以翻折后A,B,C,D四点共面.

(2)翻折后,以N为原点,NB所在的直线为轴,ND所在的直线为轴,NE所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则有如下坐标:A,C,D,E,N,则,,,设平面的法向量,由令,联立可解得,所以,又平面的法向量为

所以由,即平面BCE和平面ACE所成的锐二面角的余弦值为.