Question

【题目】已知函数f（x）＝ex﹣lnx+ax（a∈R）．

（1）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】（1）当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.

（2）求导得到判断h（x）在（0，+∞）上单调递增，，使函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，代入计算得到证明.

（1）f（x）＝ex﹣lnx+（﹣e+1）x；令，得x＝1；

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

（2）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝ex﹣lnx﹣x（x＞0）；

令，则；

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；

又，h（1）＝e﹣2＞0；

∴，使得，即；

∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增；

∴函数f（x）的最小值为；

又函数是单调减函数；

∴f（x0）＞1+1﹣ln1﹣1＝1＞0，即ex﹣lnx﹣x＞0恒成立；

又ex＞x＞lnx；∴ex﹣lnx＞0；又a≥﹣1，x＞0；∴ax≥﹣x；

∴f（x）＝ex﹣lnx+ax≥ex﹣lnx﹣x＞0，得证．