Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）++x²在 （0，]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax²-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax²-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-，
∴f（x）=-x²+x（5分）
（2）g（x）=f（x）++x²=x+在（0，]上是单调减函数，
当k≤0时，g（x）=x+在（0，+∞）上是单调增函数，
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+在（0，]上是单调减函数，
∴≤，
∴k≥（10分）
（3）∵f（x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
∴kn≤，
∴n≤≤＜1，
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴，即，
方程的两根为0，2-2k（12分）
当2-2k＞0，即≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）
分析：（1）先根据f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b为偶函数，得出a，b的一个关系式，再由函数f（x）有且仅有一个不动点，转化为方程f（x）=x有且仅有一个解，即可求得a值，从而写出f（x）的解析式；
（2）由于g（x）=f（x）++x²=x+在（0，]上是单调减函数，分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，利用函数的单调性即可求得实数k的取值范围；
（3）先利用二次函数的性质得到：f（x）在区间[m，n]上是单调增函数，列出关于m，n的方程式：，此式说明方程的两根为0，2-2k结合方程思想即可解决．
点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数单调性的性质、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．