Question

12．已知函数f（x）=x³+3|x-a|+2（a∈R）．
（1）当a=0时，讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=x³+3|x|+2，①当x≥0时，求出导函数判断f（x）在（0，+∞）单调递增；②x＜0时，求出导函数判断函数的单调性即可．
（2）①a≥2时，②a≤0时，③0＜a＜2时，（ i）0＜a＜1时，（ ii）1≤a≤2时，利用函数的导数函数的单调性求解函数的最值即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x³+3|x|+2，
①当x≥0时，f（x）=x³+3x+2，f'（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当x＜0时，f（x）=x³-3x+2，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），-1＜x＜0时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0）单调递减；x＜-1时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-1）单调递增；
综上，f（x）的增区间为（-∞，-1），（0，+∞），减区间为（-1，0）；
（2）①a≥2时，f（x）=x³+3（a-x）+2，0≤x≤2，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
f（x）_min=f（1）=3a，
②a≤0时，f（x）=x³+3（x-a）+2，0≤x≤2，f'（x）=3x²+3＞0，f（x）在[0，2]单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=-3a+2，
③0＜a＜2时，而$0≤x≤2，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}+3（{x-a}）+2，a≤x≤2}\\{{x^3}-3（{x-a}）+2，0≤x≤a}\end{array}}\right.$，
∴$f'（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+3，a≤x≤2}\\{3{x^2}-3，0≤x≤a}\end{array}}\right.$，
（ i）0＜a＜1时，f（x）在[a，2]上单增，f（a）为最小值，
f'（x）=3（x²-1）＜0在0≤x≤a上恒成立，
∴f（x）在[0，a]上单调递减，
∴$f{（x）_{min}}=f（a）={a^3}+2$；
（ ii）1≤a≤2时，f（x）在[a，2]上单调递增，$f{（x）_{min}}=f（a）={a^3}+2$，
在0≤x≤a时，f'（x）=3（x²-1），∴f（x）_min=f（1）=3a，
综上可知，当a≤0时，f（x）的最小值为-3a+2；
当0≤a≤1时，f（x）的最小值为a³+2；当a≥1时，f（x）的最小值为3a．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．