Question

20．已知圆C：x²+y²-6y+8=0，O为原点．
（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；
（2）若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设过原点O的圆C的切线方程为y=kx，与圆的方程联立，利用△=0，即可求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；
（2）若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，利用圆的参数方程，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设过原点O的圆C的切线方程为y=kx．
y=kx代入x²+y²-6y+8=0，可得（k²+1）x²-6kx+8=0
∵直线与圆相切，方程有两相等的实数根，
∴（-6k）²-4（k²+1）×8=0
整理，得k²=8，∴k=±2$\sqrt{2}$，
∴过原点O的圆C的切线方程为y=$±2\sqrt{2}$x；
（2）x²+y²-6y+8=0，即x²+（y-3）²=1，
设点P坐标（cosα，3+sinα），点M坐标（x，y），则cosα=2x，y，sinα=2y-3．
∵cos²α+sin²α=1，∴（2x）²+（2y-3）²=1，这就是所求的点M的轨迹方程，是一个圆．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．