Question

1．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，有f（5）=0，$则\frac{{f（x）+f（{-x}）}}{2x}＜0$的解集为（-5，0）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 由题意和偶函数的性质判断出：f（x）在（-∞，0）上的单调性、图象所过的特殊点，画出f（x）的示意图，将不等式等价转化后，根据图象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）是偶函数，在（0，+∞）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，
由f（5）=0得，f（-5）=0，
作出f（x）的示意图，如图所示：
∵$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$等价于$\frac{f（x）}{x}＜0$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴由图象得，x＞5或-5＜x＜0，
∴不等式的解集为：（-5，0）∪（5，+∞），
故答案为：（-5，0）∪（5，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的关系，以及偶函数的性质，考查数形结合思想，转化思想，画出函数的示意图是解题关键．