Question

14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的外接圆的面积是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得2acosC+c=2b，由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简可得sinC=2cosAsinC，结合sinC＞0，可求cosA，结合A∈（0，π），可得sinA，利用正弦定理可求△ABC的外接圆半径R，由圆的面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a=1，2cosC+c=2b，
∴2acosC+c=2b，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，可得：sinC=2cosAsinC，
∵C为三角形内角，sinC＞0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，结合A∈（0，π），可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABC的外接圆半径R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{1}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：△ABC的外接圆的面积S=πR²=$π×（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．