Question

3．如图，F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左，右焦点，椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1，P为椭圆上第一象限内的一点，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，圆A与△PF₁F₂三边所在直线都相切，切点分别为B，C，D，则圆A的半径为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$-6
• C． 4$\sqrt{3}$-2
• D． 6-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据切线的性质可得|PC|=|PB|，|F₂B|=|F₂D|，|F₁C|=|F₁D|，根据椭圆的定义可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，进行等量代换可得|F₁C|+|F₁D|=2a+2c，根据椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1，a=2，即可求出c的值，进而求出|F₁C|的值；设∠PF₂F₁=θ，则45°＜θ＜90°，在Rt△PF₁F₂中，结合|PF₁|+|PF₂|=2a可得2ccosθ+2csinθ=2a，进而求出θ=60°，得到|PF₁|的值，即可求得圆A的半径．

解答 解：∵圆A与△PF₁F₂三边所在直线都相切，切点分别为B，C，D，
∴|PC|=|PB|，|F₂B|=|F₂D|，|F₁C|=|F₁D|．
由椭圆的定义可知：|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|+|PC|+|F₂D|=2a，即|F₁C|+|F₁D|=2a+2c，
∴|F₁C|=|F₁D|=a+c．
椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1，a=2，
∴c=2（$\sqrt{3}$-1），
∴|F₁C|=|F₁D|=a+c=2$\sqrt{3}$
又∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
则∠F₁PF₂=90°．设∠PF₂F₁=θ．
∵P是椭圆上第一象限内的一点，45°＜θ＜90°，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，即cosθ+sinθ=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴1+sin2θ=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）²=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得θ=60°，
∴|PF₁|=2csinθ=$\sqrt{3}$c，
∴圆A的半径为|F₁C|-|PF₁|=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×2（$\sqrt{3}$-1）=4$\sqrt{3}$-6．
故选B．

点评 本题考查椭圆的定义及性质的综合应用，圆的切线性质，三角形函数的应用，考查计算能力，属于中档题．