Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，求m取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得到a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，从而推导出数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，由此求出数列{a_n}的通项公式为an=2n．进而能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知条件利用裂项求和法求出T_n=5-

3n+5

2n

，从而得到{T_n}是单调递增的数列．T_n＜5，再由对于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1，又a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n．
b₁=a₁=2，设公差为d，则由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-1．…（6分）
（2）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=

2

2

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-1

2n

，
2T_n=2+

5

2

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，
两式相减得T_n=2+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

，
∴Tn=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

，
∴Tn+1-Tn=5-

3n+8

2n+1

-(5-

3n+5

2n

)=

3n+2

2n+1

＞0
∴{T_n}是单调递增的数列．T_n＜5，
∵对于?n∈N^*不等式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜m恒成立，
∴m的取值范围是{m|m≥5}．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．