Question

1．设函数f（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$-a，若不等式f（x）≤0有解．则实数a的最小值为（　　）

• A． 1-$\frac{1}{e}$
• B． 2-$\frac{2}{e}$
• C． 1+2e²
• D． $\frac{2}{e}$-1

Answer 1

分析 化简f（x）≤0可得$a≥{x^3}-3x+3-\frac{x}{e^x}$，令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$，则F′（x）=（x-1）（3x+3+e^-x），令G（x）=3x+3+e^-x，则G′（x）=3-e^-x，实数a的最小值为$1-\frac{1}{e}$，由此利用导数性质能求出结果．

解答 解：∵f（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$-a，
∴化简f（x）≤0可得$a≥{x^3}-3x+3-\frac{x}{e^x}$，
令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$，
∴$F′（x）=3{x^2}-3+\frac{x-1}{e^x}=（x-1）（3x+3+{e^{-x}}）$，
令G（x）=3x+3+e^-x，则G′（x）=3-e^-x，
故当e^-x=3，即x=-ln3时，G（x）=3x+3+e^-x有最小值G（-ln3）=-3ln3+6=3（2-ln3）＞0，
故当x∈[-2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，
故F（x）有最小值$F（1）=1-3+3-\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}$，
故实数a的最小值为$1-\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．