Question

6．若函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在x=1处取得极值．
（1）求b的值．
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的极值得关系即可求出b的值，
（2）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（3）由（2）可知f（x）在[1，e]上单调递减，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx，x＞0
∴f′（x）=-x+$\frac{b}{x}$，
∵函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在x=1处取得极值，
∴1是-x+$\frac{b}{x}$=0的根，
∴-1+b=0，
解得b=1；
（2）由于f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）=f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=0，解得x=1或x=-1（舍去），
当f′（x）＞0，即0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减，
故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx，
由（2）可知f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，属于中档题．