Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）．
（I）当a＞0时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$=x+$\frac{a}{x}$+2，（x＞0），
∵a＞0，x＞0，∴f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$+2=2$\sqrt{a}$+2，
当且仅当x=$\sqrt{a}$时“=”成立，
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2，（x≥1），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
a≤1时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）递增，
∴f（x）≥f（1）=a+3＞0，解得：-3＜a≤1，
a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：1≤x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增，
∴f（x）≥f（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$+2＞0成立，
综上a＞-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．