Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求异面直线CD和PB所成角大小；
（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．

Answer 1

解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则
P（0，0，a），B（a，0，0），，
（1）设异面直线CD和PB所成角为α

∴
∴异面直线CD和PB所成角为
（2）设直线CD和平面ABE所成角为β
PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，
PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
∵，∴
∴直线CD和平面ABE所成角为．
分析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
（1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．
（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．
点评：本题以四棱锥为载体，主要考查线线角，线面角，关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．