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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.
(1)   (2) a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2}
解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
即(2k+1)x=0,∴k=-.
(2)依题意令log4(4x+1)-x=log4 (a·2x-a),

令t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意.
①当a=1时,t=-1,不合题意,舍去.
②上式有一正一负根t1,t2

经验证满足a·2x-a>0,∴a>1.
③上式有两根相等,即Δ=0⇒a=±2-2,此时t=,若a=2(-1),则有t=<0,此时方程(1-a)t2+at+1=0无正根,故a=2(-1)舍去;
若a=-2(+1),则有t=>0,且a· 2x-a=a(t-1)=a>0,因此a=-2(+1).
综上所述,a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2}.
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