Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，为椭圆上不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据离心率得到的值，将的坐标代入椭圆方程，结合，求得的值，进而求得椭圆标准方程.（2）当直线的倾斜角是时，求得直线的方程，此时直线和圆：相切. 当直线的倾斜角不是时，设出直线的的方程，联立直线的方程和椭圆方程，消去，写出韦达定理，利用则列方程，利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离为定值，这个定值恰好是圆的半径.由此证得结论成立.

（1）∵，∴.

即，∴，则椭圆方程为：.

又椭圆过点，∴，∴，则所求椭圆方程为：.

（2）当直线的倾斜角是时，直线的方程是：，

与定圆：相切.

下证任意性，当直线的倾斜角不是时，

设直线：，，，

，

∴，

∵以为直径的圆过坐标原点，∴.

而，

∴ ，

即，

圆心到直线的距离，

即直线与圆：相切.