【题目】已知直线x=﹣2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l1上,且满足(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点M(,0),N(,0),点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设点P的坐标为(x,y),结合题意得出点Q的坐标,再利用向量数量积的运算可得出点P的轨迹方程;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、D(x3,y3),设直线AM的方程为,将该直线方程与曲线C的方程联立,结合韦达定理进行计算得出点B和点D的横坐标相等,于是得出BD⊥x轴,根据几何性质得出△MBD的内切圆圆心H在x轴上,且该点与切点的连线与AB垂直.
方法一是计算出△MBD的面积和周长,利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式;
方法二是设H(x2﹣r,0),直线BD的方程为x=x2,写出直线AM的方程,利用点H到直线AB和AM的距离相等得出r的表达式;
方法三是利用△MTH∽△MEB,得出,然后通过计算得出△MBD内切圆半径r的表达式.
通过化简得到r关于x2的函数表达式,并换元,将函数关系式转化为r关于t的函数关系式,然后利用单调性可求出r的取值范围.
(1)设点,则 ∴,
∵ ∴,即
(2)设,,,直线与轴交点为,内切圆与的切点为.
设直线的方程为:,则联立方程,得:
∴且 ∴ ∴直线的方程为:,
与方程联立得:,化简得:
解得:或 ∵ ∴轴
设的内切圆圆心为,则在轴上且
方法(一)∴,且的周长为:
∴
∴ .
方法(二)设,直线的方程为:,其中
直线的方程为:,即,且点与点在直线的同侧,
∴,解得:
方法(三)∵ ∴,即,解得:
令,则
∴在上单调增,则,即的取值范围为.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆M:(a>b>0)的离心率为,左右顶点分別为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.
(1)若点C的横坐标为﹣1,求P点的坐标;
(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且,求的取值范围.
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【题目】2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:
年龄段 | ||||
人数(单位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
约定:此单位45岁~59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?
(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表,并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?
热衷关心民生大事 | 不热衷关心民生大事 | 总计 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
总计 | 30 |
(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,为椭圆上不同的两点,且以为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]:在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)判断曲线,是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由.
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【题目】某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召,组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测,现采用抽签法决定检测顺序,在“员工甲不是第一个检测,员工乙不是最后一个检测”的条件下,员工丙第一个检测的概率为( )
A.B.C.D.
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