Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）对a分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到的取值范围.

（1），

（ⅰ）若，

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

当时，令，则，；

（ⅱ）若，，恒成立，

在上为增函数；

（ⅲ）若，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

（ⅳ）若，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当，，为增函数；

综上所述：当，在上为减函数，

在上为增函数；

当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数；

当时，在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数.

（2）（ⅰ）当时，，令，，

此时1个零点，不合题意；

（ⅱ）当时，由（1）可知，

在上为减函数，在上为增函数，

因为有两个零点，必有，即，

注意到 ，

所以，当时，有1个零点；

当时，

取，则，

所以，当时，有1个零点；

所以，当时，有2个零点，符合题意；

（ⅲ）当时，在上为增函数，

不可能有两个零点，不合题意；

（ⅳ）当时，在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数；

因为，所以，

此时，最多有1个零点，不合题意；

（ⅴ）当时，在上为增函数，

在上为减函数，

在上为增函数；

因为，

此时，最多有1个零点，不合题意；

综上所述，若有两个零点，则的取值范围是.