Question

6．已知$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sinx，cosx}），\overrightarrow n=（{cosx，cosx}），x∈R，设f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（I）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（II）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）根据f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，根据向量乘积的运算，可得f（x）的解析式，化简后．将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（II）根据f（A）=1，求解A的大小．利用余弦定理求解bc的值，可得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）知$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sinx，cosx}），\overrightarrow n=（{cosx，cosx}），x∈R，设f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
∴$f（x）=\sqrt{3}sinx•cosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的解析式：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ⇒-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，（k∈Z）$
∴f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]\;（k∈Z）$
（Ⅱ）由$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1⇒sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴$2A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}⇒A=\frac{π}{3}$
由余弦定理，可得a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc•（1+cosA）
∴bc=1，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了向量乘积的运算，正余弦函数的运用，三角函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．