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已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,设bn=anlgan,问是否存在a,对任意自然数n,数列{bn}中的每一项总小于它后面的所有的项?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:对任意自然数n,要使{bn}中的每一项总小于它后面所有的项的充要条件是bn<bn+1对一切n∈N均成立.

    由已知an=an,bn=anlgan=anlgan=nanlga,bn+1=(n+1)·an+1lga,则

bn+1-bn=[(n+1)a-n]·anlga.

①当a>1时,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,∴当a>1时,bn<bn+1对一切n∈N成立;

②当0<a<1时,lga<0,bn+1-bn>0对一切n∈N

    成立,当且仅当(n+1)a-n<0对一切n∈N成立,即a<(n∈N),而,故只要a<即可.

    综上所述,存在实数a∈(0,)∪(1,+∞),使{bn}中的任一项都小于它后面的所有项.

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已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)试讨论函数F(x)在定义域D上的单调性;
(3)若关于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.

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已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.

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