Question

【题目】设P为椭圆1（a＞b＞0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：y＝kx+m（≠0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线yx上，O为坐标原点．求△OAB的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意，计算出的值即可；

（2）联立直线与椭圆方程消去得到一个关于的一元二次方程，由韦达定理可得，再将其代入所在直线上，可解得，故可化简关于的一元二次方程，从而得到关于的表达式，再结合不等式即可得到最大值.

（1）根据题意，可得2a＝PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，

又c＝ae，所以b，

所以椭圆的方程为：；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc），

将直线l：y＝kx+m代入方程，

得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0（*）

由韦达定理可知xc，

从而yc＝kxc+m，

又线段AB的中点C的直线yx上，

所以，解得k＝﹣1，

则（*）变为3x2﹣4mx+2m2﹣4＝0，

所以|AB|，

则△OAB底边AB的高h，所以S，

∵（6﹣m2）m2，

∴S，即S得最大值为．