Question

函数f（x）=sin²（x+

π

4

）-sin²（x-

π

4

），x∈（

π

6

，

π

3

）的值域是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（

π

6

，

π

3

）⇒2x∈（

π

3

，

2π

3

），利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域．

解答： 解：∵f（x）=sin²（x+

π

4

）-sin²（x-

π

4

）
=

1-cos2(x+ π 4 )

2

-

1-cos2(x- π 4 )

2

=

1

2

（sin2x+sin2x）
=sin2x，
∵x∈（

π

6

，

π

3

），
∴2x∈（

π

3

，

2π

3

），
∴

3

2

＜sin2x≤1，
即当x∈（

π

6

，

π

3

）时，函数f（x）=sin²（x+

π

4

）-sin²（x-

π

4

）的值域是（

3

2

，1]．
故答案为：（

3

2

，1]．

点评：本题考查二倍角的余弦与诱导公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．