Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），且长轴长等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若

OA

•

OB

=-

3

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由题意长轴长为4求得a的值，在有椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

）建立方程求解即可；
（II）由于圆O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据

OA

•

OB

=-

3

2

建立k的方程求k．

解答：解：（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，
∵点(1，

3

2

)在椭圆上，∴

1

4

+

9

4b2

=1 解得：b²=3
椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由直线l与圆O相切，得：

|m|

1+k2

=1，即：m2=1+k2
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）    由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

  消去y，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k2

4m2-12

3+4k2

+km(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

∴x1x2+y1y2=

4m2-12

3+4k2

+

3m2+2k2

3+4k2

=

7m2-12k2-12

3+4k2

∵m²=1+k²∴x1x2+y1y2=

-5-5k2

3+4k2

=-

3

2

，
解得：k2=

1

2

，
∴k的值为：±

2

2

．

点评：此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．