Question

已知抛物线y²=2px的焦点F与双曲线

x2

7

-

y2

9

=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=

2

|AF|，则△AFK的面积为

 

．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

7

-

y2

9

=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y²=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=

2

|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．

解答： 解：由双曲线

x2

7

-

y2

9

=1得右焦点为（4，0）即为抛物线y²=2px的焦点，∴

p

2

=4，解得p=8．
∴抛物线的方程为y²=16x．
其准线方程为x=-4，∴K（-4，0）．
过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．
∴|AK|=

2

|AM|．
∴∠MAK=45°．
∴|KF|=|AF|．
∴△AFK的面积为

1

2

|KF|²=32．
故答案为：32．

点评：熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．