【题目】设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn=(2n﹣1)an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:∵a1=2,an+1=Sn+2.
∴a2=4,n≥2时,an=Sn﹣1+2,可得an+1﹣an=an,即an+1=2an,n=1时也满足.
∴数列{an}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴an=2n.
(2)解:bn=(2n﹣1)an=(2n﹣1)2n.
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×22+…+(2n﹣1)2n,
2Tn=22+3×23+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1,
∴﹣Tn=2+2(22+23++…+2n)﹣(2n﹣1)2n+1=2× ﹣2﹣(2n﹣1)2n+1=(3﹣2n)2n+1﹣6,
∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6
【解析】(1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;(2)bn=(2n﹣1)2n . 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知向量 =(sinx,﹣1), =(2cosx,1).
(1)若 ∥ ,求tanx的值;
(2)若 ⊥ ,又x∈[π,2π],求sinx+cosx的值.
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【题目】已知A(1, )是离心率为 的椭圆E: + =1(a>b>0)上的一点,过A作两条直线交椭圆于B、C两点,若直线AB、AC的倾斜角互补.
(1)求椭圆E的方程;
(2)试证明直线BC的斜率为定值,并求出这个定值;
(3)△ABC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值?若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2 sinxcosx+1﹣2sin2x,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,把所得到的图象再向左平移 单位,得到的函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间 上的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=2sin(x+ )cosx.
(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)= ,b=2,c=3,求cos(A﹣B)的值.
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【题目】已知函数f(x)= ,其中 =(2cosx,﹣ sin2x), =(cosx,1),x∈R
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=﹣1,a= ,且向量 =(3,sinB)与向量 =(2,sinC)共线,求△ABC的面积.
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