Question

【题目】已知函数，.

（1）令，可将已知三角函数关系转换成代数函数关系，试写出函数的解析式及定义域；

（2）求函数的最大值；

（3）函数在区间内是单调函数吗？若是，请指出其单调性；若不是，请分别指出其单调递增区间和单调递减区间（不需要证明）.

（参考公式：）

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）；（3）不是单调函数，在单调递增，单调递减.

【解析】

（1）对t＝sinx+cosx两边平方得2sinxcosx＝t2﹣1，代入f（x）即可得出g（t）的解析式，由t＝sinx+cosxsin（x）得出t的取值范围；

（2）化简g（t），判断g（t）的单调性得出g（t）的最大值，即f（x）的最大值；

（3）判断f（x）的极大值点是否为区间（0，）的端点即可．

（1）∵t＝sinx+cosx，

∴t2＝1+2sinxcosx，

∴2sinxcosx＝t2﹣1．

∴f（x）．

即g（t）．

∵t＝sinx+cosxsin（x）．

∵x∈（0，），

∴x∈（.）．

∴1＜t．

∴g（t）的定义域为（1，]．

（2）g（t）t1t．

∵y＝t和y在（1，]上是增函数，

∴g（t）在（1，]上是增函数．

∴当t时g（t）取得最大值g（）．

∴f（x）的最大值是．

（3）f（x）在（0，）上不是单调函数．

由（2）可知当t时f（x）取得最大值，

即t＝sinx+cosxsin（x）．

∴x，于是x．

∴fmax（x）＝f（），

∴f（x）在（0，）上不是单调函数．在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减.