Question

已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.
(Ⅰ)求直线的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；
(Ⅲ)当时，求证：.

Answer 1

(Ⅰ)直线的方程为. .
(Ⅱ)当时，取最大值，其最大值为2.
(Ⅲ)

试题分析：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.  ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切,
∴方程组有一解. 由上述方程消去，并整理得
        ①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
解之，得或      .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 
 .  .
∴当时，，当时，.
∴当时，取最大值，其最大值为2.
(Ⅲ) .
，  ， .
由(Ⅱ)知当时，  ∴当时，，
.     ∴
点评：典型题，切线的斜率，等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值，一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式的证明问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值达到目的。