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如图,已知直线l:x=my+4(m∈R)与x轴交于点P,交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,记直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2
(Ⅰ)若P为抛物线的焦点,求a的值,并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系.
(Ⅱ)试证明:k1+k2为定值.
(Ⅰ)由直线l:x=my+4得点P(4,0),故
a
2
=4⇒a=8
…(2分)
设交点A(x1,y1),B(x2,y2),它们的中点M(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

设点M到抛物线的准线的距离为d,则d=
x1+x2
2
+4
,…(4分)
r=
1
2
|AB|=
x1+4+x2+4
2
=
x1+x2
2
+4
=d,
∴抛物线的准线与以AB为直径的圆相切.…(6分)
(Ⅱ)由直线l:x=my+4得点P(4,0),∴Q(-4,0),
将直线l:x=my+4与抛物线的方程y2=2ax联立得y2-2amy-8a=0,
∵△>0恒成立,
y1+y2=2am
y1y2=-8a
(*)
…(9分)
k1+k2=
y1
x1+4
+
y2
x2+4

=
y1(x2+4)+y2(x1+4)
(x1+4)(x2+4)
=
y1(my2+8)+y2(my1+8)
(x1+4)(x2+4)
…(11分)
k1+k2=
2my1y2+8(y1+y2)
(x1+4)(x2+4)
,代入(*)得k1+k2=0,故k1+k2为定值得征.…(13分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知实数x,y满足关系:x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

由圆x2+y2=1外一点P(2,1)引圆的切线,切线长为(  )
A.
5
B.2C.1D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆O:x2+y2=4,动点P(t,0)(-2≤t≤2),曲线C:y=3|x-t|.曲线C与圆O相交于两个不同的点M,N
(1)若t=1,求线段MN的中点P的坐标;
(2)求证:线段MN的长度为定值;
(3)若t=
4
3
,m,n,s,p均为正整数.试问:曲线C上是否存在两点A(m,n),B(s,p)(11),使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(k>1)?若存在请求出所有的点A,B;若不存在请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆C1:x2+y2=4与直线l:3x+4y-5=0交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧
AB
上,则圆C2的最大面积为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆x2+y2=8内一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长.
(2)当弦AB最长时,求出直线AB的方程.
(3)当弦AB被点P0平分时,求出直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,直线l的方程为y=kx-2.
(1)若直线l被圆C所截得弦长为2,求直线l的方程;
(2)若直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,求k的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

直线y=-x-b与曲线x=
1-y2
有且只有一个交点,则b的取值范围是______.

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