Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（s，0），使得为定值，若存在求出s的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（I）设M点坐标为（x，y）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-，
∴
∴
∴曲线C的方程为；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴
∵，
∴
若存在定点S（s，0），使得为定值，则=4
∴s=-，此时定值为
当动直线l的斜率不存在时，P（-1，），Q（-1，-），可知s=-时，=
综上知，存在定点S（-，0），使得为定值．
分析：（I）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（II ）当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）与椭圆方程联立，用坐标表示出，要使存在定点S（s，0），使得为定值，则使=4即可，再验证斜率不存在情况也成立．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出，进而确定定值．